MATEMATICAS DISCRETAS
INGENIERIA EN COMUNICACION MULTIMEDIA
UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC
jueves, 3 de diciembre de 2015
JUAN DANIEL RAMIREZ AGUIRRE
PROYECTO FINAL DE MATEMATICAS
MATEMATICAS DISCRETAS
INGENIERIA EN COMUNICACION MULTIMEDIA
UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC
MATEMATICAS DISCRETAS
INGENIERIA EN COMUNICACION MULTIMEDIA
UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC
CONSTRUCCION DE TABLAS LOGICAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
En esta clase de problemas se maneja la variable lógica, esta tiene 2 características fundamentales.
La primera expresa una presencia o ausencia de una relación cierta entre 2 variables y por tanto solo pueden tomar los valores de verdadero y falso.
La segunda, que son mutuamente excluyentes, es decir que una vez que se da una relación cierta entre las dos variables, no pueden ocurrir otra relación verdadera entre los valores de ese mismo para de variables.
Esta estrategia se utiliza para resolver problemas de 2 variables cualitativos, sobre las cuales pueden definirse una variable lógica con base a la veracidad de falsedad de las relaciones entre las variables cualitativas.
Establecimiento de la existencia o no de una relación entre variables
A través de varios procesos de pensamiento se establece la relación o no entre las variables, p/e: se emplea la deducción, inducción, comparación, las inferencias, así como la inclusión o exclusión de posibilidades “se trata de logra la concientización de las estrategia mediante el análisis y verbalismo de los procedimientos utilizados para llevar acabo los procedimientos.
Pasos para la estrategia para resolver problemas de tablas lógicas
• Leer el problema
• Identificar las variables y la pregunta del problema
• Elaborar la tabla
• Leer el problema paso a paso, anotar o proteger la información
• Inferir otras relaciones a partir de la información mutuamente excluyente
• Releer el problema para relacionar datos postergados
• Verificar la congruencia del razonamiento que se sigue
Relaciones mutuamente excluyentes
Una característica importante de las tablas lógicas es la relación mutuamente excluyente, esta se obserba cuando determinan las relación entre variables que se conecta y verdadera esta relación excluye de las otras variables la posibilidad de que establesca una relación con ella y que también sea verdadero
Ejemplo:
Si decimos que Pablo trabaja como vendedor de libros y que a Lucia le gusta la lectura y queremos determinar que compro Lucia y Pablo entre variables, que son libros , pan o ropa, encontraremos la relación que entre la lectura y libros, entonces se excluye toda la posibilidad de que haya otra variable y que también sea cierta .
Informacion completa
Cuando hablamos de información incompleta en un problema nos referimos a que elemento del texto no se encuentra todos los elementos o variables para poder resolver el problema , esto no implica que el problema no tenga una solución, simplemente hay que emplear la mente lógica para deducir que elemento o varables me hacen falta y extraerlos apartir de la información que si tengo.
Ejemplo :
Luis, Pedro y Juan tiene jugos diferentes en el receso los jugos son de : piña, melón y mora . Luis no tomo jugo de piña tampoco de mora, Pedro no tomo jugo de mora. ¿De que sabor tomo Juan su jugo?
Coordenadas en el Plano
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.
Ordenada y No Ordenada
Comenzaremos con un
recorrido por la combinatoria elemental, contando
de cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un cierto
número de elementos de un conjunto, para contar este número es preciso fijar
los criterios de una selección a otra.
Aqui tendremos en
cuenta dos tipos de criterio: el orden de los elementos y el número de veces
que puede aparecer cada uno.
Si
distinguimos dos selecciones: cuando tienen elementos diferentes o bien, cuando
los elementos aparecen en un orden diferente, hablaremos de permutaciones. En
cambio, si no distinguimos dos selecciones que solo difiere en la ordenación de
estos elementos, entonces hablaremos de combinaciones. Por otra parte, si cada
elemento puede aparecer como mucho una vez, hablaremos de selección sin
repetición, mientras que sino hay está restricción hablaremos de selecciones
con repetición. Ejemplo:
Podemos formar 16 permutaciones con repetición de dos elementos.
11 12 13 14
21 22 23 24 Pueden
repetirse 2 de los elementos pero solo una vez sin importar el orden.
32 32 33 34
41 42 43 44
12 permutaciones, sin repetición de 2 elementos.
12 13 14
21 23 24
No pueden repetirse los elementos y no importan el orden de los
elementos.
31 32 34
41 42 43
10 combinaciones, con repetición de 2 elementos.
11 12 13 14
22 23 24
Se repiten los elementos una vez pero si importa el orden en que estén
ordenados
33 34
los elementos.
44
6 combinaciones, sin repetición de 2 elementos.
12 13 14
23 24
No se repiten los elementos.
34
*Problema.
Morales fue a comprar 2 tamales y 1 atole, realiza el ordenammiento necesario
si los elementos son: tamales: verde, rojo y de dulce; atoles: chocolate y
fresa.
V= verde R=rojo D=dulce C=cholate F=fresa
VVF VRF
VVC VRC
VDF DDF
VDC DDC
Comenzaremos con un
recorrido por la combinatoria elemental, contando
de cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un cierto
número de elementos de un conjunto, para contar este número es preciso fijar
los criterios de una selección a otra.
Aqui tendremos en
cuenta dos tipos de criterio: el orden de los elementos y el número de veces
que puede aparecer cada uno.
Si
distinguimos dos selecciones: cuando tienen elementos diferentes o bien, cuando
los elementos aparecen en un orden diferente, hablaremos de permutaciones. En
cambio, si no distinguimos dos selecciones que solo difiere en la ordenación de
estos elementos, entonces hablaremos de combinaciones. Por otra parte, si cada
elemento puede aparecer como mucho una vez, hablaremos de selección sin
repetición, mientras que sino hay está restricción hablaremos de selecciones
con repetición. Ejemplo:
Podemos formar 16 permutaciones con repetición de dos elementos.
11 12 13 14
21 22 23 24 Pueden repetirse 2 de los elementos pero solo una vez sin importar el orden.
32 32 33 34
41 42 43 44
12 permutaciones, sin repetición de 2 elementos.
12 13 14
21 23 24 No pueden repetirse los elementos y no importan el orden de los elementos.
31 32 34
41 42 43
10 combinaciones, con repetición de 2 elementos.
11 12 13 14
22 23 24 Se repiten los elementos una vez pero si importa el orden en que estén ordenados
33 34 los elementos.
44
Podemos formar 16 permutaciones con repetición de dos elementos.
11 12 13 14
21 22 23 24 Pueden repetirse 2 de los elementos pero solo una vez sin importar el orden.
32 32 33 34
41 42 43 44
12 permutaciones, sin repetición de 2 elementos.
12 13 14
21 23 24 No pueden repetirse los elementos y no importan el orden de los elementos.
31 32 34
41 42 43
10 combinaciones, con repetición de 2 elementos.
11 12 13 14
22 23 24 Se repiten los elementos una vez pero si importa el orden en que estén ordenados
33 34 los elementos.
44
6 combinaciones, sin repetición de 2 elementos.
12 13 14
23 24 No se repiten los elementos.
34
*Problema.
Morales fue a comprar 2 tamales y 1 atole, realiza el ordenammiento necesario si los elementos son: tamales: verde, rojo y de dulce; atoles: chocolate y fresa.
V= verde R=rojo D=dulce C=cholate F=fresa
VVF VRF
VVC VRC
VDF DDF
VDC DDC
RRF RRC
Problema
A
una conferencia asisten 10 personas e intercambian saludos. ¿Cuántos saludos se
han intercambiado?
Combinación
s/repetición. nCr= n!
10C2=
10! = 3628800 = 3628800 = 45
A
una conferencia asisten 10 personas e intercambian saludos. ¿Cuántos saludos se
han intercambiado?
Combinación
s/repetición. nCr= n!
r!(n-r)!
10C2=
10! = 3628800 = 3628800 = 45
2!(10-2)! 2(8)!
86640
Recursividad
Son uno de los pilares o bucles fundamentales de la programación sin embargo es posible construir programas sin utilizarlos. Algunos lenguajes no tiene una construcción explícita de los bucles diferentes etc.
Esto resulta ser una técnica muy poderosa para la solución de diversos problemas la recursividad significa aplicar una función como diferencia de una misma función.
La clave de funcionamiento es obligatoria debe existir una condición determinar como el objeto de que la condición se difiere una resolución no recursiva de un punto lo contrario la función de un bucle finito nunca finalizado.
Las matemáticas factorial se define como el producto de todos los números hasta el argumento inclusive el factorial de 1 es 1.
El factorial de N=a nueve el factorial de N – 1 por lo tanto
1! = 1
2! = 1*2=2
3!= 1*2*3=6
N!=1*2*3*……..(N-2)*(N-1)*N…..
Graficas Planas
3 ciudades C1,C2,C3 deberían conectarse en forma directa mediante autopistas con cada una de otras 3 ciudades C4,C5,C6.
Puede diseñarse un sistema de carretera de manera que las autopistas no se crucen, la fig. anterior ilustra un sistema donde las aristas se cruzan.
Una gráfica plana se puede dibujar en el plano sin que sus aristas se crucen. Al diseñar circuitos impresos es decible tener el menor de cruces posibles, así el diseñador de circuitos impresos se enfrentan con el problema de gráficas planas.
Si una gráfica plana conexo se dibuja en el plano , esto se divide en regiones continuas llamadas caras. Una cara se caracteriza por el ciclo que forma su frontera. Ejemplo en la siguiente gráfica la cara A tiene como limite el ciclo (5,2,3,4,5) . B tiene el ciclo (1,2,5,1), la cara anterior D se considera limitada por el ciclo (1,2, 3,4,6,1). La gráfica de la figura tiene 4 caras e igual 8 aristas y 6 vértices.
F= 4 varas
E= 8 aristas
V= 6 vértices
F= E –V +2
F= 8-6+2
F = 2
Diagramas de Flujo
Un diagrama de flujo es una representación gráfica de un proceso. Cada paso del proceso es representado por un símbolo diferente que contiene una breve descripción de la etapa de proceso.
Los símbolos gráficos del flujo del proceso están unidos entre sí con flechas que indican la dirección de flujo del proceso.
El diagrama de flujo ofrece una descripción visual de las actividades implicadas en un proceso mostrando la relación secuencial ente ellas, facilitando la rápida comprensión de cada actividad y su relación con las demás, el flujo de la información y los materiales, las ramas en el proceso, la existencia de bucles repetitivos, el número de pasos del proceso, las operaciones de interdepartamentales… Facilita también la selección de indicadores de proceso
Principios de Conteo
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:
PROPIEDAD CONMUTATIVA: cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos:
EJEMPLO:
4 * 5 = 20
5 * 4 = 20
PROPIEDAD ASOCIATIVA: Cuando se multiplican 3 o más números, el producto es, el mismo sin importar como se agrupen los factores.
EJEMPLO:
(2 * 3) * 4 = 3 * (2 * 4)
PROPIEDAD DE ELEMENTO NEUTRO: el producto de cualquier número multiplicado por 1 es el mismo número.
EJEMPLO:
5 * 1 = 5
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: la suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número.
EJEMPLO:
4 + (6 + 3) = (4 * 6) + (4 * 3)
FACTORIZACIÓN: es la manera de reducir una expresión algebraica en menos términos utilizando un término común.
EJEMPLO:
xy2 – y2w = y2 (x – w)
PROPIEDADES DE LA ADICION
CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera la suma o el total.
EJEMPLO:
5 + 4 = 9 Ó 4 + 5 = 9
ASOCIATIVA: la forma de agrupar más de dos sumandos no altera la suma o total.
EJEMPLO:
(8 + 7) + 6 = 21 Ó 8 + (7 + 6) = 21
ELEMENTO NEUTRO: a cualquier número que se le adicione un cero el resultado es el mismo.
EJEMPLO:
9 + 0 = 9 Ó 0 + 9 = 9
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Se multiplican cada uno de los valores de la izquierda por cada uno de los valores que están a la derecha.
EJEMPLO:
( 3x2 + 8 ) ( 3 – Z ) = 9x2 – 3 x2z – 24 – 8z
(X2 + y2 ) ( a2 – 86 ) = x2a2 – 86x2 + a2y2 – 86y2
Suma y Resta de Binarios
Suma en binario
Suma de dos números binarios |
Sean los números binarios 0010 y 0110
|
|
De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:
|  |
En la tabla de suma de números binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0 |
|
 |
Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.
|
Tercer paso
Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del sumando.
|  |
|
 |
El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.
|
El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0.
VIDEO EXPLICATIVO
|
Sustracción en binario
La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
- -0100111 + 10
Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 2– 1= 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.
VIDEO EXPLICATIVO
Conversión de Binarios
Conversión de binario a octal
La base de números binarios está representada por 2 y la base de números octales está representada por 8. La tercera potencia de números binarios se denominan como números octales. A fin de convertir el binario número en sus números octales equivalentes, se dividió el número binario en grupos y cada grupo debe contener tres bits binarios y, a continuación, convirtiendo cada grupo en su número octal equivalente de la siguiente conversión tabla producirá el resultado. El siguiente ejemplo permite comprender el binario a octal conversión
Ejemplo: Convertir el número binario (111110011001)2 octal equivalente
Conversión de binario a octal
A fin de obtener el número binario equivalente para el número octal, escribir el dígito octal individual en su equivalente números binarios de la por debajo de la tabla de conversión que le da el número binario equivalente. El siguiente ejemplo permite comprender el hex para conversión binario claro
Ejemplo: Convertir el número Hexadecimal (536)8 en su equivalente binario
Tabla de Conversión
La base de números binarios está representada por 2 y la base de números octales está representada por 8. La tercera potencia de números binarios se denominan como números octales. A fin de convertir el binario número en sus números octales equivalentes, se dividió el número binario en grupos y cada grupo debe contener tres bits binarios y, a continuación, convirtiendo cada grupo en su número octal equivalente de la siguiente conversión tabla producirá el resultado. El siguiente ejemplo permite comprender el binario a octal conversión
Ejemplo: Convertir el número binario (111110011001)2 octal equivalente
Conversión de binario a octal
A fin de obtener el número binario equivalente para el número octal, escribir el dígito octal individual en su equivalente números binarios de la por debajo de la tabla de conversión que le da el número binario equivalente. El siguiente ejemplo permite comprender el hex para conversión binario claro
Ejemplo: Convertir el número Hexadecimal (536)8 en su equivalente binario
Tabla de Conversión
Decimal
|
Binary
|
Octal
|
Hexadecimal
|
0
|
0000
|
0
|
0
|
1
|
0001
|
1
|
1
|
2
|
0010
|
2
|
2
|
3
|
0011
|
3
|
3
|
4
|
0100
|
4
|
4
|
5
|
0101
|
5
|
5
|
6
|
0110
|
6
|
6
|
7
|
0111
|
7
|
7
|
8
|
1000
|
10
|
8
|
9
|
1001
|
11
|
9
|
10
|
1010
|
12
|
A
|
11
|
1011
|
13
|
B
|
12
|
1100
|
14
|
C
|
13
|
1101
|
15
|
D
|
14
|
1110
|
16
|
E
|
15
|
1111
|
17
|
F
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