Matematicas Discretas: Ecuaciones Cuadráticas (Fórmula General)

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x² - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x² + 10              a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8

x + 4 = 0       x – 2 = 0

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x² + 12x – 8 = 0
4 4 4 4

x² + 3x – 2 = 0   Ahora, a= 1.

Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]

x² + 2x + 1 = 8 + 1

x² + 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)² = 9
(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4

Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X² + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

Son ecuaciones que se pueden expresar de la forma

La fórmula general para resolverlas es

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Ejemplo: Resuelve la ecuación

En el ejemplo los coeficientes son

;

Aplicamos la fórmula:

$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} =\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} =\frac{5 \pm 1}{2}$ $x_1=\frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} =3 \quad ; \quad x_2=\frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} =2$